1954 yılında Giresun’un Şebinkarahisar İlçesinde doğdu. İlköğrenimini 1965 yılında Rumelihisarı’ndaki Şair Nigar İlkokulu’nda, 1969 yılında orta öğrenimini Emirgan Ortaokulu’nda, liseyi ise 1973’de Kabataş Erkek Lisesi’nde tamamladı. 1974-75 yıllarında Boğaziçi Üniversitesi Temel Bilimler Fakültesi Fizik Bölümü’ne devam etti. Ardından, 1982–1983 yılları arasında İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesinden mezun oldu.
Öğrenimi sırasında Boğaziçi Üniversitesi’nde, eğitiminden sonra ise Libya’da iki yıl çalıştı. Irak’ta bir inşaat firmasında şantiye şefliği ve proje müdürlüğü yaptı.1987 yılında 2 yıl özel sektörde profesyonel yönetici olarak görev yaptı. 1989 yılında kendi şirketini kurarak çeşitli inşaat işleri yaptı.
1988 yılında siyasete atıldı ve Cumhuriyet Halk Partisi’nde üyelik, ilçe-il-kurultay delegeliği, 1994–1999 yıllarında Sarıyer Belediyesi Meclis Üyeliği görevlerinde bulundu. 29 Mart 2009 Yerel Seçimlerinde CHP’nin Sarıyer Belediye Başkanı seçildi. 2014 Yerel Seçimlerinde CHP'den belediye başkanı seçildi.
Şükrü Genç, evli ve üç çocuk babasıdır.
31 Mart 2019 Yerel Seçimlerinde CHP'den İstanbul İli, Sarıyer İlçesi Belediye Başkan adayı oldu.